poj 3169 Layout 最短路

缘起

日常水题 poj 3169 Layout

分析

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n头牛在一起进食，但是有一些牛之间的关系较好，进食的距离不能超过一定距离，有一些牛的关系不好，进食的距离
不能小于某个距离，在所有满足这些条件的排序中，求1号牛和N号牛之间的最大距离，如果不存在任何一种排列的话
输出-1，无限大输出-2

【输入】
第一行是 N，ML，MD ，N是牛的数量，ML是关系较好的奶牛对数, MD是关系不好的奶牛对数.
然后是ML行关系好的奶牛，然后是ML条关系不好的奶牛, 每条数据形如 (a,b,c) 表示a和b距离<=（或>=）c

【输出】
满足要求的距离

【样例输入】
4 2 1
1 3 10
2 4 20
2 3 3

【样例输出】
27

【限制】
Time limit 1000 ms
Memory limit 65536 kB

【来源】
USACO 2005 December Gold

令n头牛的位置是 d[i], i=1,…,n（d[i]单调递增）, 则按照题意, 对于关系较好的(a,b,c), 我们有

1
d[b]<=d[a]+c

对于关系不好的(a,b,c) ,我们有

1
d[a]+c<=d[b]

现在，我们其实是求所有满足上面ML+MD个条件的d中d[n]-d[1]的最大值.

此题可以巧妙地转换为单源最短路问题. 怎么讲? 你想想我们单源最短路问题中，假设最后 d[1],d[2],…,d[n]是到单源1的最短路. 则我们有

1
2
d[i]+wij>=d[j], for all the arc wij which from i to j，
d[1] = 0  假设1是单源

其实所有满足上述条件的d中，d[i]-d[1]的最大值就是1到i的最短路. 因为d[i]-d[1]不能超过任何一条从1到i的路径长度. 不然就和d[i]是最短路相矛盾了. 注意，是任何一条. 所以 d[i]-d[1]的上界就是最短路. 那么类比于本题就很像了. 我们对于 d[b]<=d[a]+c 的 关系，建立一条长度为c的弧 a–>b . 对于关系 d[a]+c<=d[b]， 建立一条长-c的弧

b–>a, 然后我们求1到n的最短路径，就是1到n允许的最大距离了. 注意，有负权边，所以不能使用dijkstra，只能使用spfa. 一旦判定有负环，则输出-1，如果为inf，则输出-2

对于spfa不懂的话，可以参见 【1】

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//#include "stdafx.h"

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <queue>
//#define LOCAL
using namespace std;

int n,ml,md,d[1005], cnt, head[1005], sz[1005]; //sz记录每个节点进队次数, 一旦>=n，则判定有负环
bool isinq[1005];

struct Arc
{
	int from,to, nxt, len;
	Arc(){}
	Arc(int from, int to, int nxt, int len):from(from),to(to),nxt(nxt),len(len){}
}g[200005];

void addArc(int a,int b, int c)
{
	g[cnt] = Arc(a,b,head[a], c);
	head[a] = cnt++; // 本题是有向图, 不需要双向建边
}

int spfa()
{
	queue<int> q;
	q.push(1);
	while(!q.empty())
	{
		int front = q.front();
		q.pop();
		isinq[front] = false;
		for (int i = head[front]; ~i; i = g[i].nxt)
		{
			int to = g[i].to;
			if (d[to]>d[front]+g[i].len)
			{
				d[to] = d[front]+g[i].len;
				if (!isinq[to])
				{
					isinq[to] = true;
					if (++sz[to]>=n)
					{
						return -1; // 判定出现负权环
					}
					q.push(to);
				}
			}
		}
	}
	return d[n]==0x3f3f3f3f?-2:d[n];
}

int main()
{
#ifdef LOCAL
	freopen("d:\\data.in", "r", stdin);
	//freopen("d:\\my.out", "w", stdout);
#endif
	scanf("%d%d%d",&n,&ml, &md);
	memset(d, 0x3f, sizeof(d));
	d[1] = 0;
	memset(head, -1, sizeof(head));
	while(ml--)
	{
		int a,b,c;
		scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
		addArc(a,b,c);
	}
	while(md--)
	{
		int a,b,c;
		scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
		addArc(b,a,-c);
	}
	printf("%d\n", spfa());
	return 0;
}

ac情况

Status Accepted
Time 63ms
Memory 284kB
Length 1312
Lang C++
Submitted 2019-08-23 07:18:59
Shared
RemoteRunId 20790052

参考

【1】https://yfsyfs.github.io/2019/05/27/bellman-ford%E7%AE%97%E6%B3%95%E4%B9%8B%E9%98%9F%E5%88%97%E4%BC%98%E5%8C%96/